“I prezzi sono saliti in modo esponenziale”. “Con la diffusione dei cellulari, il traffico telefonico è in crescita esponenziale”. “La delinquenza è aumentata in maniera esponenziale”. Tutte frasi che ricorrono in televisione, sui giornali, nei discorsi della gente, in cui ci si riferisce ad un fatto o ad un fenomeno che è cresciuto in modo straordinario, rapido, superiore ad ogni previsione o aspettativa.
L’aggettivo “esponenziale” deriva dalla matematica essendo la funzione esponenziale (con base a > 1) una funzione che cresce molto rapidamente al crescere dell’esponente (in termini più precisi, per x che tende a infinito, la funzione esponenziale è un infinito di ordine comunque grande, cioè superiore ad ogni potenza di x).
La funzione esponenziale nella vita reale
Per rendere meglio l’idea della crescita esponenziale, utilizzeremo un esempio. Supponiamo che Barbara sia a conoscenza di un segreto piuttosto delicato. Scottante al punto che decide di confidarlo solo a due suoi amici, con la calda raccomandazione che questi ultimi tengano la bocca cucita. “Puoi stare tranquilla, Barbara. Non lo farei mai”, questa la risposta che Barbara ottiene.
In realtà, non è facile mantenere un segreto e i due amici di Barbara pensano che non ci sia niente di male se comunicano quanto sanno a due persone di cui si fidano ciecamente. Ovviamente, anche questi ultimi agiscono e ragionano allo stesso modo e ogni nuova confidenza raddoppia il numero di persone a conoscenza del segreto (che comincia a non essere più tale…). La propagazione, ormai, è avviata.
La crescita esponenziale
Se Barbara è venuta a conoscenza del segreto alle 8 del mattino e se ogni confidenza avviene a distanza di mezz’ora dalla precedente, riuscite a immaginare quante persone saranno a conoscenza di quel segreto alle 20 dello stesso giorno? Facciamo qualche calcolo.
Alle 8 Barbara è l’unica a conoscere il segreto. Alle 8,30 lo confida a due suoi amici (lo conoscono in 1+2=3). Alle 9, i suoi due amici lo confidano ad altri due loro amici (ora sono in 1+2+4=7 a conoscere il segreto). Alle 9,30 se ne aggiungono altri 8… Alle 20, dopo 12 ore (24 intervalli di mezz’ora ciascuno), il numero di persone a conoscenza del segreto è pari alla somma di tutte le potenze di 2 da 0 a 24, cioè 1+2+4+8+…+2^(24).
Sapete quanto vale tale numero? Esattamente 33.554.431, cioè quasi la metà della popolazione italiana. E se Barbara avesse deciso di confidarsi con tre amici (in fondo, continuerebbe ad essere assicurata una certa discrezione…), cosa sarebbe accaduto? Ebbene, in questo caso, alle 18, le persone informate del segreto scottante sarebbero state circa 5,2 miliardi, ovvero il 70% dell’intera popolazione mondiale!
“Crescita esponenziale”: cosa significa questo termine così tanto utilizzato